Анализ временных рядов — статистический анализ данных, собранных в ходе наблюдений за единичным объектом (например, отдельным человеком, семьей или городом), производимых последовательно во времени, либо через определенные интервалы, либо непрерывно. Как и традиционные параметрические методы анализа данных, методы А. в. р. используются для описания связей между переменными, предсказания будущего поведения и проверки эффектов проведенного лечения. Есть два математически эквивалентных подхода к разработке концептуальных моделей и вычислительных процедур А. в. р. Один подход, наз. анализом во временной области или анализом временных характеристик, связан с использованием понятий, сходных с теми, что применяются в традиционном корреляционном и регрессионном анализе. Другой подход получил название анализа частотных характеристик; он предполагает изучение частотных составляющих и основан на понятиях спектрального анализа. Далее рассматривается ряд основных идей, связанных с анализом временных характеристик.

Основные понятия анализа временных рядов. Модель временного ряда представляет собой уравнение, которое связывает наблюдение, полученное в некоторый конкретный момент времени, с наблюдениями, полученными ранее по той же и/или другим характеристикам изучаемой переменной. Например, если дискретные данные о весе тела собираются через равные промежутки времени на одном объекте, интерес могут представлять два вопроса: а) в какой степени связаны смежные (или несмежные) наблюдения в данном временном ряду, и б) насколько успешно можно предсказать будущие показатели веса тела. Ответы на оба этих вопроса требуют вычисления выборочной автокорреляционной функции, идентификации модели временного ряда и оценивания соотв. параметров. Коэффициент автокорреляции отражает, в сущности, обычную корреляцию, вычисляемую между образующими временной ряд текущими и запаздывающими значениями зависимой переменной (весом тела в нашем примере). Этот коэффициент (вычисляемый по формуле, весьма похожей на формулу коэффициента корреляции Пирсона) является мерой линейной зависимости между наблюдениями, разделенными определенными временными интервалами, — т. е. мерой линейной связи между смежными наблюдениями. Совокупность коэффициентов автокорреляции, основанных на разной величине лага, есть не что иное, как расчетная автокорреляционная функция, график которой обычно называется коррелограммой. Для проверки значимости этих коэффициентов применяют соотв. статистические критерии.

Идентификация модели. Для прогнозирования будущих показателей на основе имеющихся временных рядов необходимо идентифицировать модель, которая наилучшим образом описывает процесс порождения выборочного временного ряда. Для идентификации такой модели можно воспользоваться расчетной автокорреляционной функцией. Из множества моделей для описания динамики временных рядов чаще всего используются три: модель белого шума, авторегрессионная модель первого порядка и авторегрессионная модель второго порядка. Если расчетная автокорреляционная функция представляет собой совокупность незначимых автокорреляций, это явное указание на то, что изменчивость данного времени ого ряда лучше всего охарактеризовать как «белый шум», или случайные флуктуации. Авторегрессионная модель первого порядка во многих случаях является хорошим средством представления данных временного ряда; следовательно, форма автокорреляционной функции этой модели должна быть сравнима с формой расчетной автокорреляционной функции. Известно, что авторегрессионная модель первого порядка связана с автокорреляциями, которые быстро затухают при лагах более высокого порядка. Если в авторегрессионной модели первого порядка известна автокорреляция с лагом, равным 1, автокорреляция с лагом 2 равна квадрату автокорреляции с лагом 1, а автокорреляция с любым большим лагом равна автокорреляции с единичным лагом в k-й степени, где k — величина лага. Для представления нек-рых данных лучше подходит другая полезная модель — авторегрессионная модель второго порядка. Если эта модель лучше соответствует данным, чем авторегрессионная модель первого порядка, поведение во время t можно предсказать с меньшей погрешностью, используя информация с запаздыванием на два шага в добавление к информ. о среднем и замере с запаздыванием на один шаг. Основная идея, лежащая в основе идентификации модели временного ряда, остается одной и той же и для простых, и для сложных моделей: соответствие структуры наблюдаемых данных (характеризуемых различными видами автокорреляции) известной структуре, связываемой с определенным классом моделей. После того как модель предварительно идентифицирована, производится оценка ее параметров.

Диагностическая проверка. Так как в основе идентификации модели временного ряда лежит до нек-рой степени субъективная процедура, иногда рекомендуется оценить адекватность идентифицированной модели путем проверки значимости автокорреляционной функции остатков данной модели. Это целесообразно, поскольку остатки модели временного ряда не являются автокоррелированными. Фактически, основная цель А. в. р. — узнать, что необходимо сделать с исходными данными (т. е. какие модели нужно подобрать) для того, чтобы получить остатки, соответствующие белому шуму. Некоторые временные ряды требуют очень сложных моделей для получения остатков, относящихся к белому шуму. Это часто имеет место в тех случаях, когда ряд не является стационарным, т. е. когда среднее, дисперсия и/или структура автокорреляции изменяются во времени.